sexta-feira, 16 de abril de 2010

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).


Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.


JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.


O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.



Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.



Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES



O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:



J = P . i . n



Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos



Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )



M = P . ( 1 + ( i . n ) )



Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234



2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00



3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67



4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.



Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.



Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:


M = P . (1 + i)n



Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:


J = M - P



Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?



Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$9.054,00

Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + r ) n

Portanto:

* num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
* num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica



TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

* Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
* O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )
* Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
* O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos:

1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.


2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.


TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplo:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608




TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

TAXAS DE JUROS

 Proporcional;
 Equivalente;
 Nominal;
 Efetiva;
 Acumulada;
 Real;
 Aparente;
 Over;
 Média.

Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.

Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
 18% ao ano, capitalizados diariamente.

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida o regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.

Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:

 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
 10% ao ano, capitalizados anualmente.

Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas.

A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas.

A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

A taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.
Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.

A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.

RENDA FIXA

Renda Fixa define-se como o lucro a partir de um investimento, que ocorra constantemente e periodicamente. O investimento pode não só ser economico, como tambem pode ser um trabalho (administrativo ou manual), ou qualquer outro tipo de serviço a favor de um empreendimento ou corporação. Um exemplo de renda fixa seria o salário de um operário, ou qualquer outro tipo de trabalhor.
Em finanças, Renda Fixa pode ser o nome do tipo de rendimento obtido por um investimento em títulos do mercado financeiro (chamado de aplicação financeira no Brasil). Existe ainda a Renda Variável, proveniente da aplicação / investimento em títulos mobiliários de risco, como as ações e os fundos mútuos de ações.
Em contabilidade, no regime brasileiro da lei 6.404/76 os valores aplicados em renda fixa são componentes do Ativo Circulante, enquanto os de renda variável podem ser contabilizados em Investimentos / Ativo Permanente.

Investimentos em renda fixa e suas normas

Os investimentos de renda fixa são aplicações financeiras em títulos de renda fixa, que podem ser classificados segundo dois critérios:
- quanto ao tipo de emissor do título, entre públicos (Governo) e privados (empresas);
- quanto à rentabilidade do título, em prefixados e pós-fixados.
Rendimentos prefixados são aqueles cuja rentabilidade (nominal) o investidor conhece previamente, sendo a taxa de retorno da aplicação acertada previamente, no momento da aplicação.
Nas aplicações pós-fixadas ocorre o inverso, só se conhece o retorno (rentabilidade) da aplicação na data de vencimento e a rentabilidade varia de acordo com as oscilações das taxas de juros.
Quem investe em renda fixa está comprando um Título de Dívida, isto é, empresta dinheiro ao emissor do papel, que em troca lhe paga juros até a data de vencimento desse papel, quando ocorre o resgate do título.
Fazer um investimento de renda fixa não significa que a rentabilidade não varie: há oscilações, às vezes diminutas, quase imperceptíveis. Estas oscilações ocorrem em função das variações da cotação do título no mercado financeiro.
Podemos citar como investimento em Renda Fixa a Caderneta de Poupança, o Certificado de Depósito Bancário (CDB), as Letras de Câmbio, as Letras Hipotecárias e os Títulos Públicos (LTN, LFT ou NTN).

Caderneta de Poupança

Modalidade mais tradicional e conservadora do mercado. Permite ao investidor aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversario da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-fixada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversario da aplicação perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo)
O risco da poupança está diretamente associado ao banco que faz a captação desses recursos, pois o investidor, na verdade, está emprestando dinheiro ao banco captador, embora exista a garantia do FGC - Fundo Garantidor de Crédito - até o limite de R$ 60.000,00 por CPF e por instituição.

Certificado de Depósito Bancário – CDB

É um título de crédito (captação) emitido por bancos (comerciais, de investimento, desenvolvimento e múltiplos) que tem por objetivo captar recursos de investidores, passando posteriormente esses aos clientes na forma de empréstimos. Os CDBs consistem em um depósito a prazo determinado com rentabilidade prefixada ou pós-fixada. Os prefixados tem sua rentabilidade expressa em taxas de juros e os pós-fixados são alterados a algum índice (TR, TJLP ou TBF) como correção, mais taxas de juros referentes ao ano, com prazo mínimo de um mês. Os CDBs não podem ser prorrogados, mas renovados de comum acordo, havendo nova contratação. O CDB tem a garantia do Fundo Garantidor de Crédito – FGC.

Títulos Públicos

São papéis emitidos pelos poderes públicos federais, estaduais ou municipais. Um dos principais objetivos dessa emissão é os governos poderem financiar as suas dívidas, pagando remuneração com taxas prefixadas ou pós-fixadas. As instituições financeiras interessadas compram esses títulos, emprestando recursos aos governos e colocam esses papéis nas carteiras dos fundos de investimento, remunerando o investidor. Os riscos dos títulos públicos é o risco dos governos não honrarem os compromissos assumidos.
NTN – Notas do Tesouro Nacional – São títulos pós-fixados, que podem ter uma remuneração através de uma taxa de juros fixa + um índice de correção específico, (TR, TJLP etc.) São títulos nominais.
LTN – Letras do Tesouro Nacional – Títulos prefixados, rentabilidade conhecida no momento da aplicação.
LFT – Letra Financeiras do Tesouro - Títulos pós-fixados e remunerados pela taxa, acumulada no mercado, SELIC.
Tesouro Direto – Recentemente se abriu a qualquer pessoa física a compra através da Internet. Limite mínimo para investimento é de R$ 200,00 e o máximo de R$ 200.000,00 por mês.

Letras de Câmbio

Títulos emitidos como instrumento de captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços, (CDC – Crédito Direto ao Consumidor) Podendo ser com taxas prefixadas, pós-fixadas ou flutuantes.

Letras Hipotecárias

Papéis emitidos para captar recurso para o financiamento imobiliário, com juros prefixados, pós-fixados ou flutuantes, contam com garantia do FGC (Fundo Garantidor de crédito). Lastreado em créditos garantidos por hipoteca de primeiro grau de bens imóveis. Seu prazo mínimo de emissão é de 180 dias e é proibido prazo maior que o de vencimento dos créditos que servem de lastro.

Debêntures

Títulos de crédito emitidos por sociedades não financeiras de capital aberto, com a garantia em seu ativo e com o intuito de obter recurso de médio e longo prazo. Equivalem a um empréstimo que o comprador (credor) do título faz a empresa emissora, garantindo esta uma taxa de juros fixa ou variável sobre o valor emprestado. Geralmente utilizado para financiar projetos de investimento ou alongamento do perfil de suas dívidas. Normalmente com características de renda fixa, podendo, no entanto, serem considerados como de renda variável desde que a remuneração oferecida seja com base na participação dos lucros da empresa emitente. Classificando-se em:
Simples – O credor recebe juros e correção monetária e não pode convertê-las em ações. Conversíveis – O credor pode optar em transformar suas debêntures em ações (da empresa emissora) na data do vencimento. Permutáveis – Permitem ao credor optar por transformar suas debêntures em ações que não as da empresa emissora.

Fundos de Renda Fixa

São Fundos de investimentos que buscam retorno através de investimento em ativos de rendas fixas excluindo-se estratégias que impliquem risco de índices de preço, moeda estrangeira ou de renda variável (ações etc.). Exemplos: Renda Fixa Crédito, Renda Fixa Multiíndices, Renda Fixa Alavancados.

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